Análisis de Varianza  ANOVA

ANOVA son siglas para el análisis de la Variación (ANalysis Of VAriance).

Un ANOVA segrega diversas fuentes de la variación vistas en resultados experimentales.

Conjunto de técnicas estadísticas para conocer el modo en que el valor medio de una variable es afectado por diferentes tipos de clasificaciones de los datos.

Con el análisis de la varianza se pueden ajustar las estimaciones del efecto de un tratamiento según otros factores como sexo, edad, gravedad, etc.

Es una técnica estadística que sirve para decidir o determinar si las diferencias que existen entre las medias de tres o más grupos (niveles de clasificación) son estadísticamente significativas.

Las técnicas de ANOVA se basan en la partición de la varianza para establecer si la varianza explicada por los grupos formados es suficientemente mayor que la varianza residual o no explicada.

Es una técnica estadística de contraste de hipótesis.

Tradicionalmente estas técnicas, conjuntamente con las técnicas de regresión lineal múltiple, de las que prácticamente son una extensión natural, marcan el comienzo de las técnicas multivariantes.

Con estas técnicas se manejan simultáneamente más de dos variables, y la complejidad del aparato matemático se incrementa proporcionalmente con el número de variables en juego.

El análisis de la varianza de un factor es el modelo más simple: una única variable nominal independiente, con tres o más niveles, explica una variable dependiente continua.

Otra alternativa, que aparentemente es más lógica e intuitiva, consiste en comparar, en todas las posibles combinaciones de dos en dos, las medias de todos los subgrupos formados.

En el ANOVA se comparan medias, no varianzas: medias de los subgrupos o estratos originados por los factores de clasificación estudiados.

Un ANOVA entonces prueba si la variación asociada a una fuente explicada es grande concerniente a la variación inexplicada.

Si ese cociente (la estadística de F) es tan grande  que la probabilidad que ocurrió por casualidad es baja (por ejemplo, P<=0.05), podemos concluir (en ese nivel de la probabilidad) que esa fuente de la variación tenía un efecto significativo.

CONDICIONES GENERALES DE APLICACIÔN.

A- INDEPENDENCIA DE LOS ERRORES I

Los errores experimentales han de ser independientes Se consigue si los sujetos son asignados aleatoriamente. Es decir, se consigue esta condición si los elementos de los diversos grupos han sido elegidos por muestreo aleatorio

B- NORMALIDAD

Se supone que los errores experimentales se distribuyen normalmente. Lo que supone que cada una de las puntuaciones yi.i se distribuirá normalmente.

Para comprobarlo se puede aplicar un test de ajuste a la distribución normal como et de Kolmogov-Smirnov.

C- HOMOGENEIDAD DE VARIANZAS (HOMOSCEDASTICIDAD).

La varianza de los subgrupos ha de ser homogénea σ21 = σ22 = .....= σ2k ya que están debidas al error. Se comprobarán mediante los test de: Razón de varianzas (máx. /min), C de Cochran, Barlett-Box…

 La experimentación usualmente requiere comparación de más de dos tratamientos simultáneamente, es allí donde se introduce Anova (Recordemos que es un procedimiento para análisis cualitativos).

El análisis de varianza se deriva de la partición de la variabilidad total en las partes que la componen. ANOVA establece que la variabilidad total en los datos, medida por la suma de cuadrados total, puede ser dividida en una suma de cuadrados de la diferencia entre los promedios de los tratamientos y el gran promedio total más una suma de cuadrados de la diferencia de las observaciones entre tratamientos del promedio del tratamiento. Anova, nos da la herramienta para distinguir si un factor afecta la respuesta en promedio.

Anova mira los promedios de cada nivel contra el promedio general y lo llama entre tratamientos. 

Esta queda con dos estimados de varianza, dentro y entre los niveles; con estos saca un cociente, si las 2 varianzas se parecen, es decir, el cociente es aproximadamente 1, el factor no tiene ningún impacto en la respuesta, pero si este cociente resulta ser grande, entonces el factor tiene mucho impacto en la respuesta.

Para ilustrar se presenta a continuación un ejemplo teniendo en cuenta un solo factor aleatorio: Observaciones ( n replicas)
Niveles del factor	1	2	…	n	Totales Yi.		Promedios . iY
1	Y11	Y21	…	Yn1	Y11+ Y21+… Yn1		.1 Y
2	Y12	Y22	…	Yn2	Y12+ Y22+… Yn2		.2 Y
. .	. .	. .	…	. .	. .		…
a	Y1a	Y2a	…	Yna	Y1a+ Y2a+… Yan		. aY
Totales						Y..		.. Y

_{A partir de la anterior tabla, se presenta la forma manual de hacer Anova con el fin de entender el concepto que maneja el análisis de varianza. Inicialmente se debe calcular la suma de cuadrados de los tratamientos:}

 

El análisis de la varianza parte de los conceptos de regresión lineal(?).

El primer concepto fundamental es que todo valor observado puede expresarse mediante la siguiente función:

Donde Y sería el valor observado (variable dependiente), y X el valor que toma la variable independiente.

sería una constante que en la recta de regresión equivale a la ordenada en el origen, es otra constante que equivale a la pendiente de la recta, y es una variable aleatoria que añade a la función cierto error que desvía la puntuación observada de la puntuación pronosticada.

Por tanto, a la función de pronóstico la podemos llamar "Y prima":

Podemos resumir que las puntuaciones observadas equivalen a las puntuaciones esperadas, más el error aleatorio:

(1.1)

Sabiendo este concepto, podemos operar con esta ecuación de la siguiente forma:

1) Restamos a ambos lados de la ecuación (para mantener la igualdad) la media de la variable dependiente:

2) Substituimos el error por la ecuación resultante de despejar la ecuación 1.1:

Por tanto...

Y reorganizando la ecuación:

Ahora hay que tener en cuenta que la media de las puntuaciones observadas es exactamente igual que la media de las puntuaciones pronosticadas:

Por tanto:

Podemos ver que nos han quedado 3 puntuaciones diferenciales. Ahora las elevamos al cuadrado para que posteriormente, al hacer el sumatorio, no se anulen:

Y desarrollamos el cuadrado:

Podemos ver que tenemos los numeradores de las varianzas, pero al no estar divididas por el número de casos (n), las llamamos Sumas de Cuadrados., excepto en el último término, que es una Suma Cruzada de Cuadrados (el numerador de la covarianza), y la covarianza en este caso es cero (por las propiedades de la regresión lineal, la covarianza entre el error y la variable independiente es cero).

Por tanto:

O lo mismo que:

de un factor, que es el caso más sencillo, la idea básica del análisis de la varianza es comparar la variación total de un conjunto de muestras y descomponerla como:

Donde:

es un número real relacionado con la varianza, que mide la variación debida al "factor", "tratamiento" o tipo de situación estudiado.

es un número real relacionado con la varianza, que mide la variación dentro de cada "factor", "tratamiento" o tipo de situación.

En el caso de que la diferencia debida al factor o tratamiento no sean estadísticamente significativa puede probarse que las varianzas muestrales son iguales:

Donde:

es el número de situaciones diferentes o valores del factor se están comparando.

es el número de mediciones en cada situación se hacen o número de valores disponibles para cada valor del factor.

Así lo que un simple test a partir de la F de Snedecor puede decidir si el factor o tratamiento es estadísticamente significativo

En el presente video se muestra de una forma "sencilla"  como hacer una gráfica simple de un modelo sencillo..